Trimestres pour enfant - retraite

Bonjour. Je suis née en 1963. Je peux donc prétendre à la retraite à partir du 1er décembre prochain. J ai eu un enfant en 1988 alors que je travaillais dans le privé. En 2001 j ai été titularisée dans la fonction publique territoriale. En avril 2023 j ai signé une rupture conventionnelle. Depuis je suis inscrite à France Travail et c est mon employeur qui me verse mon allocation de retour à l emploi qui se termine le 20 août prochain. J ai deux questions : d une part puis je prétendre à la prolongation de ma durée d indemnisation jusqu’à ma retraite à taux plein étant donné que c est mon employeur qui me rémunère et non France Travail ? D autre part qui va prendre mon enfant en compte le public ou le privé ? Vais je avoir droit à 4 ou 8 trimestres supplémentaires ? Cela a un impact fondamental pour moi car si c est le public donc 4 trimestres,cela recule mon départ à la retraite au 1er juin 2026 ! Je vous remercie par avance chaleureusement pour vos réponses.